Jika A adalah matriks 2x2 yang memenuhi \( A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) dan \( A \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \) maka hasil kali \( A \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \) adalah…
- \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
- \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
- \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
- \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \)
- \( \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)
(SNMPTN DASAR 2011)
Pembahasan:
Misalkan matriks \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) sehingga:
\begin{aligned} A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} a+2b \\ c+2d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[8pt] a + 2b &= 1 \quad \cdots(1) \\[8pt] c + 2d &= 0 \quad \cdots(2) \end{aligned}
\begin{aligned} A \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 4a+6b \\ 4c+6d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\[8pt] 4a + 6b &= 0 \quad \cdots(3) \\[8pt] 4c + 6d &= 2 \quad \cdots(4) \end{aligned}
Dari eliminasi persamaan (1) dan (3) diperoleh \(a = -3\) dan \(b=2\). Selain itu, dari eliminasi persamaan (2) dan (4) diperoleh \(c = 2\) dan \(d = -1\). Dengan demikian,
\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \\[8pt] A \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\[8pt] &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}
Jawaban C.